幻方
“很能干啊苏柏然，不过这是Sangaku当中最初级的，我另外出一道题。你告诉我先有鸡还是先有蛋?” 苏柏然这样回答：“先有蛋。” “怎样理解呢?”范文嘉皱着眉头问道。对于这样一道连我都听说过的所谓永恒命题，柏然瞬间给出的答案似乎浑不可解。 “我先给你讲个故事吧。”苏柏然不慌不忙地讲道：“1822年3月，英国苏塞克斯郡有一个叫曼特尔的医生出门去给病人看病。曼特尔夫人留在家里等他。后来夫人坐不住了，出门沿着正在修建的公路去接丈夫。路边有一些亮晶晶的东西引起了她的注意，那是一种很大的动物化石，形状像是牙齿。夫人把化石带回了家，此后曼特尔先生又把这些化石带给了法国博物学家居维叶。居维叶认为这是犀牛的牙齿，但曼特尔并不相信。两年以后曼特尔先生来到伦敦皇家学院博物馆，他发现那些化石跟博物馆收集的鬣蜥的牙齿非常相似，由此断定这是一种早就已经灭绝了的古代爬行动物。再后来，这种动物被命名为禽龙，这是我们最早发现的一种恐龙。” 苏柏然望着范文嘉的脸，安祥地说道：“我在英国呆过几年，去过那个博物馆，也见过禽龙的牙齿。这种动物很巨大，大约生活在两亿年前，是卵生动物。也就是说，两亿年前就世界上就已经有了恐龙蛋。但是鸡却是很多年之后才由人类驯养的，所以，先有蛋，然后才有鸡。” 范文嘉想了一下，不服气地驳斥道：“你说的蛋是恐龙蛋，两亿年前未尝没有恐龙鸡?” 苏柏然哈哈大笑：“那倒是。不过飞禽确实是在爬行动物之后很久才进化出现的呀。” 这下子范文嘉终于无话可说。 “不如我来给你出道题吧。”柏然兴致颇好，在小本儿上画了九个组合在一起的九宫格，又填上十几个数字。 “你试试看，怎样把9个1-9的数字分别填进这些小格子里去，让它们在同一排和同一列中都不重复，并且各行各列两条对角线加起来数值相等。” “这是什么东西?”范文嘉瞪着他。 正说话间，尼玛过来招呼上路。我们翻身上马，苏柏然继续给范文嘉解释他所钟爱的小方格子。 “你可以把它叫做纵横图，也可以叫它幻方。你既然专攻考古，应该知道《易经》里记载有一副数字图表，传说是公元前2200年左右大禹治水时在黄河岸边的一只神龟背上所见。” “你说洛书?” “没错，洛书分为三行三列，分别是4 9 2、3 5 7、8 1 6，各行各列还有对角线相加都等于15。这个洛书就是最初的纵横图，也就是幻方。后来有个南宋数学家叫杨辉，他造出了3阶和4阶的幻方，4阶以上直至10阶的幻方他只给出图形，没留下作法。10阶幻方叫‘百子图’，各行各列之和为505。” 柏然继续说道：“欧洲也有幻方的研究，但要晚很多。第一个3阶幻方出现在公元130年。1514年的时候，德国有个很著名的版画家叫丢勒，他有一副名作《忧郁》，上面有一个4阶幻方，跟杨辉举出的一个幻方基本相同，只互换了行列。” 范文嘉问道：“这个幻方是用来干什么的?” “有人说是一种占卜工具，但也有人说是用来计算天体的能量，据说是一种数学模型，八卦就是这种模型的代表形式。我在想，也许它也可以变成一种建筑模型……”柏然若有所思，声音也变得小了下去，我知道他又想起了他所钟爱的立方体。稍过一会儿，他继续对范文嘉说道：“现在我给你出的是一个9阶幻方，我先填了一些数字，你试试看能不能把这个幻方完成。”
13年和17年的周期蝉
换了是我，绝不会被这个书呆子的无聊玩艺困住。但范文嘉不同，她几乎立刻就被那幻方蛊惑了。接下来的时间里她一直呆呆傻傻地骑在马背上，画着幻方的小本子则拴在马脖子上。偶尔她填下几个数字，过一会儿又擦掉，下马休息期间同样如此。我很佩服柏然能够轻易让一向多话的小姨子变得如此安静。 一时忍不住，纵马赶到柏然身边问道：“你说的那个9阶幻方10阶幻方，什么‘百子图’，除了玩弄几个数字之外，究竟还有什么实际意义?” 柏然道：“我不是跟你说了它可以变化成八卦吗?你敢说八卦没有实际上的运用意义吗?”侧过头紧盯了我几眼：“我猜你想说八卦本来就纯属是玩虚的?” 我点头：“确实如此。” “那我换个另外的例子吧。现在是夏天，重庆的树上有很多蝉，你知不知道蝉是怎样生存的?” “我不知道，正想请教。” “美洲有一种蝉，以17年为一个周期。另外有一种以13年为一个周期的。这两种蝉有个统一的名字叫‘周期蝉’。它们总在初夏5月份破土而出完成*，雌蝉把卵产在树干上。经过2-8周的孵化，幼虫从壳里钻出来，掉到地上，马上就钻到土壤里去，紧贴着大树的根部，靠吸食植物汁液为生。一边在黑暗中生长，一边等待下一个合适的初夏5月。” “这一等就是漫长的17年。其实地底下的蝉只需要8年就可以完全发育成熟，可是它们必须等，直到第17年的5月，它们立刻像约好了似的，一起钻出地面，完成下一个生命周期。这是17年的周期蝉。13年的周期蝉则在地底下等待13年，一年也不会多，一年也不会少，绝对精确。” “现在值得研究的问题就出现了。为什么这两种蝉总是固守着17和13这两种周期?更奇怪的是，为什么这两个数字都是质数?” “有一种说法是这样的，如果它们的生命周期不是质数，那么一旦孵化出来，就会和其他孵出来的天敌迎面撞上，它们会被吃掉。这么说吧，如果它的周期是12，那么这种周期蝉就会和2年、3年、4年、6年生的天敌遇上，这样它们就很难保证继续繁衍后代。” “我设计过一个数学模型，假设蝉和天敌的周期都不固定，但是它们会随机发生变异。你知道最后测试出来的结果是怎样的吗?” 我茫然摇头。柏然解释道：“周期重叠，蝉被吃掉。但经过多年演化，蝉的最终周期必须停留在一个质数上。” “少华，你问我那些数字、多阶幻方有什么意义?说句老实话，一时半会儿来看，可能真的毫无意义。但就像质数对于周期蝉，早先也可能没什么用处，但再过许多年，质数就会成为蝉的生存大要。我说的那些幻方、数列、立方体，可能放在当下来看也是一团混沌，甚至比不上一个刚煮熟的鸡蛋有用。但倘若再过一段时间呢?倘若有些东西能够成为我们自己的生存大要呢?”
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